非对称 Macdonald 多项式在 $q=1$ 与 $q=0$ 处的性质

我们考察非对称 Macdonald 多项式 $E_\lambda(x;q,t)$ 在 $q=1$ 处的情况，以及更一般的置换 basement Macdonald 多项式。当 $q=1$ 时，我们证明只要 $\lambda$ 是一个分拆，$E_\lambda(x;1,t)$ 就是对称的且独立于 $t$。此外，我们证明对一般的 $\lambda$，该表达式分解为对称部分与非对称部分，其中对称部分独立于 $t$，而非对称部分仅依赖于 $\lambda$ 中各项的相对次序。我们还考察了 $q=0$ 的情形，其给出了所谓的置换 basement $t$-原子。我们证明了这些原子的展开性质，并作为推论证明了 Demazure 特征标（key 多项式）可正展开为置换 basement 原子。这补充了置换 basement 原子为原子正的结果。最后，我们证明一个置换 basement 原子与 Schur 多项式的乘积在同一置换 basement 原子基下仍为正的，从而插值在 Haglund、Luoto、Mason 与 van Willigenburg 的两个结果之间。本工作的共同主题是通过应用第一作者此前文章中的结果，运用 basement 置换算子以及填装上的组合学。