双 Macdonald 多项式作为 Macdonald 超多项式的稳定极限

Macdonald 超多项式提供了通常 Macdonald 多项式的极其丰富的推广。本工作的出发点是观察到 Macdonald 超多项式在费米子扇区 $m$ 足够大时具有此前未被注意到的稳定性性质：此时它们在单项式基下的分解与 $m$ 无关。这些稳定的超多项式可以轻易映射为双对称多项式，这一操作虽然破坏了环结构，但极大地简化了相关的向量空间。我们的主要结果是将称为双 Macdonald 多项式（由分区对索引）的（稳定）双对称 Macdonald 多项式分解为 Macdonald 多项式的乘积（尽管需经过非平凡的 plethystic 变换）。作为副产品，我们注意到，在乘以 $t$-Vandermonde 行列式后，这为一大类具有规定对称性的 Macdonald 多项式提供了显式公式。双 Macdonald 多项式的分解直接导致将 Macdonald 多项式的基本性质（范数、核、对偶性、正性等）推广到双情形。当提升回超空间时，这验证了稳定区域中此前提出的各种猜想。与双 Macdonald 多项式相关的 $q,t$-Kostka 系数被证明是超八面体群 $B_n$ 不可约表示维数的 $q,t$-模拟。此外，定义了双 Macdonald 多项式上的 Nabla 算子，其作用于某个双对称 Schur 函数可解释为维数 $(2n+1)^n$ 的双分次模的 Frobenius 级数，该公式再次是 $B_n$ 型 Coxeter 群的特征。最后，作为附带结果，我们得到了一个涉及四个 Littlewood-Richardson 系数乘积的简单恒等式。