带单项变形的对角超曲面上 $\mathbb{F}_q$ 点个数的研究

我们考虑带单项变形的对角超曲面族 $$D_{d, \lambda, h}: x_1^d + x_2^d \dots + x_n^d - d \lambda \, x_1^{h_1} x_2^{h_2} \dots x_n^{h_n}=0$$ 其中 $d = h_1+h_2 +\dots + h_n$ 且 $\gcd(h_1, h_2, \dots h_n)=1$。我们首先给出 $D_{d, \lambda, h}$ 上 $\mathbb{F}_{q}$ 点个数用 Gauss 和与 Jacobi 和表示的公式。这推广了 Koblitz 在特例 ${d \mid {q-1}}$ 下的结果。随后我们将 $D_{d, \lambda, h}$ 上 $\mathbb{F}_{q}$ 点个数用作者先前定义的 $p$-adic 超几何函数表示。该超几何函数中的参数与 Koblitz 在将其结果同经典超几何函数类比时所描述的参数完全一致。这推广了 Sulakashna 与 Barman 在 $\gcd(d,{q-1})=1$ 情形下的结果。在特例 $h_1 = h_2 = \dots =h_n = 1$ 且 $d=n$（即 Dwork 超曲面）时，我们还推广了作者本人在 $q$ 为素数时的先前结果。