若干单项有向图的直径

设$p$为素数，$e$为正整数，$q = p^e$，并令$\mathbb{F}_q$表示含$q$个元素的有限域。设$f_i : \mathbb{F}_q^2\to\mathbb{F}_q$为任意函数，其中$1\le i\le l$，$i$与$l$为整数。有向图$D = D(q;\bf{f})$（其中${\bf f}=(f_1,\dotso,f_l) : \mathbb{F}_q^2\to\mathbb{F}_q^l$）定义如下：其顶点集为$\mathbb{F}_q^{l+1}$。若存在从顶点${\bf x} = (x_1,\dotso,x_{l+1})$到顶点${\bf y} = (y_1,\dotso,y_{l+1})$的弧，当且仅当对所有$i$，$2\le i \le l+1$，有$x_i + y_i = f_{i-1}(x_1,y_1)$。本文研究特殊情形为单项有向图$D(q; m,n)$时$D(q; {\bf f})$的直径：${\bf f} = f_1$且$f_1(x,y) = x^m y^n$，其中$m$和$n$为某些非负整数。