一类具有小自同构群的代数定义新图族

设 $p$ 为奇素数，$q=p^e$，$e\ge 1$，$\mathbb{F} = \mathbb{F_q}$ 表示含 $q$ 个元素的有限域。设 $f: \mathbb{F}^2\to \mathbb{F}$ 与 $g: \mathbb{F}^3\to \mathbb{F}$ 为函数，$P$ 与 $L$ 为三维向量空间 $\mathbb{F}^3$ 的两个副本。考虑二部图 $\Gamma _\mathbb{F} (f, g)$，其顶点划分为 $P$ 与 $L$，边定义如下：对每個 $(p)=(p_1,p_2,p_3)\in P$ 与每個 $[l]= [l_1,l_2,l_3]\in L$，$\{(p), [l]\} = (p)[l]$ 为 $\Gamma _\mathbb{F} (f, g)$ 中一条边，若 $$p_2+l_2 =f(p_1,l_1) \;\;\;\text{且}\;\;\; p_3 + l_3 = g(p_1,p_2,l_1).$$ 给定 $\Gamma _\mathbb{F} (f, g)$，是否总可找到函数 $h:\mathbb{F}^2\to \mathbb{F}$，使得与 $\Gamma _\mathbb{F} (f, g)$ 有相同顶点集、且边 $(p)[l]$ 由系统 $$p_2+l_2 =f(p_1,l_1) \;\;\;\text{且}\;\;\; p_3 + l_3 = h(p_1,l_1)$$ 类似定义的图 $\Gamma _\mathbb{F} (f, h)$ 对无穷多个 $q$ 同构于 $\Gamma _\mathbb{F} (f, g)$？本文证明该问题答案是否定的，且图 $\Gamma_{\mathbb{F}_p}(p_1\ell_1, p_1\ell_1p_2(p_1 + p_2 + p_1p_2))$ 对 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 提供了这样一个例子。我们的论证基于证明这些图的自同构群阶为 $p$，这是形如 $\Gamma_{\mathbb{F}}(f, g)$ 的图的自同构群可能的最小阶。