关于某些代数定义的围长为八的二部图的刻画

对任意域 $\mathbb{F}$ 和多项式 $f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}[x,y]$，令 $\Gamma_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$ 表示具有顶点划分 $P\cup L$ 的二部图，其中 $P$ 和 $L$ 是 $\mathbb{F}^{3}$ 的两个拷贝，且 $(p_{1},p_{2},p_{3})\in P$ 与 $[l_{1},l_{2},l_{3}]\in L$ 相邻当且仅当 $p_{2}+l_{2}=f_{2}(p_{1},l_{1})$ 且 $p_{3}+l_{3}=f_{3}(p_{1},l_{1})$。图 $\Gamma_{3}(\mathbb{F})=\Gamma_{\mathbb{F}}(xy,xy^{2})$ 已知围长为八。当 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_q$ 为奇大小 $q$ 的有限域，或 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_{\infty}$ 为特征零的代数闭域时，猜想 $\Gamma_{3}(\mathbb{F})$ 在至同构意义下那些 $\Gamma_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$ 中是唯一围长至少八的图。该猜想已在 $\mathbb{F}_q$ 上 $f_{2},f_{3}$ 均为单项式的情形，以及 $\mathbb{F}_{\infty}$ 上 $f_{2},f_{3}$ 至少一个为单项式的情形得到证实。若 $f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}_q[x,y]$ 之一为单项式，也已证明存在正整数 $M$，使得只要 $G=\Gamma_{\mathbb{F}_{q^{M}}}(f_2,f_3)$ 围长至少八，则 $G$ 同构于 $\Gamma_{3}(\mathbb{F}_{q^{M}})$。本文将此结果推广到对多项式 $f_2,f_3$ 的限制进一步放宽至其中之一为两个单变量多项式之积的情形。此外，完全刻画了所有此类多项式 $f_2,f_3$。