具有大围长见证图的地图图

二部图 $B=(X,Y,E_B)$ 的半平方以 $B$ 的一个色类（设为 $X$）为顶点集；两顶点在它们于 $Y$ 中有公共邻点时相邻。若 $G=(V,E_G)$ 是平面二部图 $B=(V,W,E_B)$ 的半平方，则 $G$ 称为地图图，且 $B$ 为 $G$ 的一个见证图。地图图推广了平面图，由 Chen、Grigni 与 Papadimitriou [STOC 1998, J. ACM 2002] 引入并研究。他们通过证明见证图的存在性，证明了识别地图图属于 $\mathsf{NP}$。不久之后，Thorup [FOCS 1998] 声称识别地图图属于 $\mathsf{P}$，并为 $n$ 个顶点的输入图提供了 $\Omega(n^{120})$ 时间算法。在本注记中，我们给出围长至少为给定整数 $g\ge 8$ 的二部图半平方的良刻画与高效识别。结果表明，具有围长至少为 $g$ 的见证图的地图图，恰为顶点–团关联二部图为平面且围长至少为 $g$ 的图。我们的结构刻画意味着一个 $O(n^2m)$ 时间算法，用于识别给定的 $n$ 顶点 $m$ 边图 $G$ 是否为这样的地图图。