因子图具有任意的阶与大小

因子图 $G$ 是一个有序对 $(V, E)$，其中 $V \subset \mathbbm{Z}$，且对所有 $u \neq v \in V$，$u v \in E$ 当且仅当 $u \mid v$ 或 $v \mid u$。同构于因子图的图也称为因子图。在本注记中，我们将证明对任意 $n \geqslant 1$ 与 $0 \leqslant m \leqslant \binom{n}{2}$，均存在阶为 $n$、大小为 $m$ 的因子图。我们也给出由 Chartran、Muntean、Saenpholpant 与 Zhang 所给出的因子图刻画的简单证明。