关于图的度量子图

连通图由中心、环带和外围所诱导的三个子图称为其度量子图。主要结果如下：（1）存在阶为 $n$ 且其度量子图均为路的图，当且仅当 $n\ge 13$，且此类阶为 $13$ 的图中最小边数为 $22$；（2）存在阶为 $n$ 且其度量子图均为圈的图，当且仅当 $n\ge 15$，且阶为 $15$ 的此类图恰有三个；（3）对每个整数 $k\ge 3$，我们确定了存在度量子图均为连通 $k$-正则图的图的可能阶数；（4）存在阶为 $n$ 且其度量子图连通且两两同构的图，当且仅当 $n\ge 24$ 且 $n$ 被 $3$ 整除。文末提出一个未解决问题。