关于广义 Markoff-Hurwitz 和 Dwork 超曲面上整数点的密度

我们利用模素数 $p$ 的混合特征和界限，来估计超曲面 $$f_1(x_1) + \ldots + f_n(x_n) =a x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n}$$ 上整数点的密度，其中 $f_i \in {\mathbb Z}[X]$ 为某些多项式，$a$ 为非零整数，$k_i$ ($i=1, \ldots, n$) 为正整数。在 $$f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^2 \quad \text{且}\quad k_1 = \ldots = k_n =1$$ 的情况下，上述同余式被称为 Markoff-Hurwitz 超曲面；而在 $$f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^n\quad \text{且}\quad k_1 = \ldots = k_n =1$$ 的情况下，它被称为 Dwork 超曲面。我们的结果 substantially 强于已知的一般超曲面结果。