乘性函数多线性平均的有效渐近公式

设 $f_1,\ldots,f_k : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ 为取值于闭单位圆盘内的乘性函数。利用受 Halász 均值定理启发的一种解析方法，我们计算当 $x \rightarrow \infty$ 时形如 $$x^{-l} \sum_{\mathbf{n} \in [x]^l} \prod_{1 \leq j \leq k} f_j(L_j(\mathbf{n}))$$ 的多维平均值，其中 $[x] := [1,x]$，$L_1,\ldots, L_k$ 是满足某些自然条件的仿射线性形式。我们的方法给出了 Frantzikinakis 和 Host 一个结果的新证明，与他们的证明不同，且具有\emph{显式}的主项与误差项。\\ 作为我们公式的应用，我们建立了乘性函数 Gowers 范数的一个\emph{局部到整体}原理。我们还计算了整数集合的渐近密度，使得给定乘性函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow \{-1, 1\}$ 在几乎所有以 $n$ 为首项的 3 项和 4 项等差数列上分别产生长度为 3 或 4 的固定符号模式。