关于某些和积问题中的渐近公式

本文我们得到了素域 $\mathbf{F}_p$ 上和积现象的一系列渐近公式。证明中我们使用了 $\mathbf{F}_p$ 中通常的关联定理，以及 Helfgott 关于 ${\rm SL}_2 (\mathbf{F}_p)$ 的增长结果。以下是我们的部分应用：$\bullet~$ 方程 $(a_1-a_2) (a_3-a_4) = (a'_1-a'_2) (a'_3-a'_4)$ 的解数的新界，其中 $a_i, a'_i\in A$，$A$ 是 $\mathbf{F}_p$ 的任意子集；$\bullet~$ Bourgain 多线性指数和的一个新的有效界；$\bullet~$ Balog--Wooley 分解定理的渐近类比；$\bullet~$ $p_1(b) + 1/(a+p_2 (b))$ 的增长，其中 $a,b$ 取遍 $\mathbf{F}_p$ 的两个子集，$p_1,p_2 \in \mathbf{F}_p [x]$ 是两个非常数多项式；$\bullet~$ 某些带乘法与加法特征标的指数和的新界。