关于$SL_2(\mathbf{F}_p)$、仿射群中的增长率及积和型推论

本文旨在通过乘法和几何关联估计，更深入地研究矩阵群${{\rm SL_2}}(\mathbf{F})$与${{\rm Aff}}(\mathbf{F})$在域$\mathbf{F}$上的增长与$\mathbf{F}$上积和现象之间的关联。文中给出了Helfgott关于$\mathbf{F}_p$情形增长定理的精简证明，避免了积和估计。对于${{\rm SL_2}}(\mathbf{F}_p)$，对大小超过某绝对常数的集合，我们将Kowalski给出的增长指数下界$\frac{1}{1512}$改进为$\frac{1}{21}$。对于仿射群，我们取用了Sz\H{o}nyi关于$\mathbf{F}_p^2$中一点集所确定方向数的锐利定理。随后我们聚焦于${{\rm Aff}}(\mathbf{F})$，给出了$\mathbf{F}^2$中点集与线集之间一个新的关联界，其显式依赖于线集作为仿射变换在复合下的能量。该界在线数远小于点数时很强，由此推广了Elekes与Murphy关于网格中富线的结构定理。当线集亦为网格这一特殊情形——回到积和关系——我们利用${{\rm Aff}}(\mathbf{R})$中的增长得到了线集能量的阈下估计。这提供了一种统一途径以打破各类阈值积和型能量不等式的僵局。我们在应用于能量估计中展示了这一点，对应于集合$A(A+ A)$、$A+AA$（亦含非对称版本）以及当$A$具有小乘法加倍且$\sqrt{|A|} \le |B|\le|A|^{1+o(1)}$时的$A+B$。