Thompson 群 F 及相关群的数值研究

我们开发了多项式时间算法，用于生成群 $\mathbb{Z}\wr \mathbb{Z}$（拨灯组）、$(\mathbb{Z}\wr \mathbb{Z})\wr \mathbb{Z}$ 以及 Navas-Brin 群 $B$ 的共增长级数项。我们还给出了 Thompson 群 $F$ 系数的改进算法，提供了共增长级数的 32 项。我们开发了数值技术以提取这些不同共增长级数的渐近行为。我们使用 \cite{HHR15} 的方法应用于我们扩展的级数，给出了 Thompson 群 $F$ 共增长级数增长率的改进严格下界。我们还通过证明其适用于任意局部有限图上的环路，推广了他们的方法。遗憾的是，小于 16 的下界无助于确定顺从性。同样对于 Thompson 群 $F$，我们证明了如果该群是顺从的，则渐近行为中不可能存在次主导的拉伸指数项\footnote{ }。然而数值数据为存在这样的项提供了令人信服的证据。这一观察提示了证明非顺从性的一条潜在路径：如果能够严格确定共增长序列的普适类，它很可能会证明非顺从性。我们估计 $F$ 的共增长系数的渐近行为为 $$c_n \sim c \cdot \mu^n \cdot \kappa^{n^\sigma \log^\delta{n}} \cdot n^g,$$ 其中 $\mu \approx 15,$ $\kappa \approx 1/e,$ $\sigma \approx 1/2,$ $\delta \approx 1/2,$ 且 $g \approx -1.$ 对于顺从性，增长常数 $\mu$ 必须为 16。这两种方法，加上第三种基于外推下界的方法，都支持该群是非顺从的猜想 \cite{ERvR15, HHR15}。