针对 Thompson 群 F 的顺从性问题的 Thompson 群 T 计算探索

Thompson 群 $F$ 是否为顺从群是一个长期未决的开放问题。在本文中，我们表明若 $A$、$B$、$C$ 表示 Thompson 群 $T$ 的标准生成元且 $D:=C B A^{-1}$，则有 $$\sqrt2+\sqrt3\,<\,\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\,\le\, 2+\sqrt2.$$ 此外，若 Thompson 群 $F$ 是顺从的，则上界可取等。此处，群环 $\mathbb{C} T$ 中元素的范数通过 $T$ 的正则表示在 $B(\ell^2(T))$ 中计算。利用“循环约化”数 $\tau(((C+C^2)(D+D^2+D^3))^n)$，$n\in\mathbb{N}$，以及我们先前论文 [arXiv:1409.1486] 中的若干方法，我们可以获得精确下界以及 $\frac1{12}((I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3))^*(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)$ 的谱分布的良好估计，其中 $\tau$ 是群 von Neumann 代数 $L(T)$ 上的迹态。我们大量的数值计算表明 $$\frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\approx 3.28,$$ 从而 $F$ 可能非顺从。然而，我们绝无法排除 \frac1{\sqrt{12}}||(I+C+C^2)(I+D+D^2+D^3)||\= 2+\sqrt2 的可能性。