Thompson群$F$的群环上的方程组

设$R=K[G]$为群$G$在域$K$上的群环。已知若$G$是顺从群（amenable），则$R$满足Ore条件：对任意$a,b\in R$，存在$u,v\in R$使得$au=bv$，其中$u\ne0$或$v\ne0$。对于顺从群，在$R$上的任意有限线性方程组（未知量个数多于方程个数）也存在非零解。最近Bartholdi证明了其逆命题。作为该定理的推论，Kielak证明了R. Thompson群$F$是顺从群当且仅当它满足Ore条件。$F$的顺从性是长期未决的公开问题。本文证明了在$F$的群环中某些方程或其方程组存在非零解。我们改进了Donnelly的某些结果，证明了存在有限集$Y\subset F$满足$|AY| < \frac43|Y|$，其中$A=\{x_0,x_1,x_2\}$。这蕴含了关于方程组的某些结果。我们证明了对于$F$的群环中的任意元素$b$，方程$(1-x_0)u=bv$有非零解。将$1-x_0$替换为$1-x_1$的相应事实仍然开放。我们推得对任意$m\ge1$，方程组$(1-x_0)u_0=(1-x_1)u_1=\cdots=(1-x_m)u_m$在$F$的群环中有非零解。我们还分析了方程$(1-x_0)u=(1-x_1)v$，给出了其在$K[F]$中所有解的精确显式描述。这一点很重要，因为对于$F$中$x_0$、$x_1$之间的任意群关系，都可以自然地赋予这样一个解。因此这有助于估计给定长度的生成元之间关系的数目。