半群的顺从性与半群环的 Ore 条件

设$M$为可消幺半群。已知~\cite{Ta54}若$M$左顺从，则幺半群环$K[M]$满足Ore条件，即该环元素存在非平凡公共右倍式。在~\cite{Don10}中Donnelly证明该命题的部分逆成立。即，若具有正系数的$\mathbb Z[M]$中所有元素构成的幺半群$\mathbb Z^{+}[M]$存在非零公共右倍式，则$M$左顺从。他问该特定命题的逆是否真。我们证明即便对群的情形逆也不成立。若$M$为自由亚交换群，则$M$顺从但$\mathbb Z^{+}[M]$不满足Ore条件。此外，我们研究R.\,Thompson群$F$的正元素构成的幺半群$M$。其顺从性是著名开放问题。它等价于幺半群$M$的左顺从性。我们证明此情形下幺半群$\mathbb Z^{+}[M]$不满足Ore条件。亦即，即便$F$顺从，也无法用上述充分条件证明。