偏序环的结合律与交换律

考虑一个交换幺半群 $(M,+,0)$ 与一个双加性二元运算 $\mu \colon M \times M \to M$。我们将证明在某些额外的普遍假设下,运算 $\mu$ 自动同时满足结合律与交换律。主要的额外假设是 $\mu$ 的可局部化性,这本质上意味着 $M$ 上的某个典范序与并入 $M$ 中某些元素的乘法逆相容。作为一个应用,我们证明:若对除法环 $\mathbb F$ 中所有 $a \in \mathbb F$ 存在自然数 $k$ 使得 $a-k$ 不是平方的乘积之和,则 $\mathbb F$ 是交换的。这将经典的「每个阿基米德有序除法环皆交换」定理推广到一类更一般的未必容许阿基米德(全)序的形式实除法环。关于自动结合律与交换律的类似结果对特殊类型的偏序扩展环(「扩展」意指定义中不要求乘法的结合律与交换律)是熟知的,即一致有界与格序情形,亦即(扩展) $f$-环。在这些情形中,相关的交换幺半群是该偏序扩展环的正锥。我们也讨论了如何由我们的主定理得到这些经典结果。