约化交换环上的Fracpair与分数

在整环的分式域的标准构造中，排除了除以零的情况。我们引入“fracpair”作为满足与用作分数一致的法则的对，但不排除分母为零。我们研究约化交换环（没有非零零幂元的交换环）上的fracpair，并为其提供加法、乘法以及加法和乘法逆元的自然定义。我们发现，模一个简单同余，这些fracpair构成一个“公共牧场”（common meadow），它是一个关于加法和乘法的交换幺半群，并扩展了一个弱加法逆元、一个除零外的乘法逆元，以及一个额外元素“a”，它是乘法逆元在零上的像，并在所有运算中传播。将“a”视为错误值支持了这种直觉。由此得到的fracpair的等价类称为公共消去分数（cc-fractions），整数上的cc-fraction构成公共牧场Qa（有理数域Q扩展了一个a-全逆元）的同态原像。此外，初始公共牧场同构于整数上cc-fraction的初始代数。接下来，我们定义了整数上cc-fraction的典范项代数以及一些模拟扩展了全逆元的有理数的牧场，并给出了关于它们相关项重写性质的若干否定结果。然后我们考虑那些两个平方和加一不能是零因子的约化交换环：通过扩展fracpair上的等价关系，我们得到一个同构于Qa的初始代数。最后，我们表达了关于这些（具体）数据类型替代规范的否定猜想。