多项式环的过环之幺半群扩张上的单模行

设$R$为维数$d$的交换Noether环，$M$为交换消去无挠半正规幺半群。则(1) 设$A$为$R[d,m,n]$型环，$P$为秩$r \geq max\{2,d+1\}$的射影$A[M]$-模。则$E(A[M] \oplus P)$在$Um(A[M] \oplus P)$上的作用是传递的；且(2) 假设$(R, m, K)$为含域$k$的正则局部环，使得要么$char$ $k=0$，要么$char$ $k = p$且$tr$-$deg$ $K/\mathbb{F}_p \geq 1$。设$A$为$R[d,m,n]^*$型环，$f\in R$为正则参数。则$A[M]$、$A[M]_f$与$A[M] \otimes_R R(T)$上的所有有限生成射影模均自由。当$M$自由时，这两个结果均归于Keshari与Lokhande。