关于幺半群代数与Segre扩张的Serre维数

设$R$为维数$d$的交换诺特环，$M$为秩$r$的交换、消去、无挠幺半群。则$S$-$dim(R[M]) \leq max\{1, dim(R[M])-1 \} = max\{1, d+r-1 \}$。进一步，我们定义一类幺半群$\{\mathfrak{M}_n\}_{n \geq 1}$，使得若$M \in \mathfrak{M}_n$为半正规的，则$S$-$dim(R[M]) \leq dim(R[M]) - n= d+r-n,$其中$1 \leq n \leq r$。作为应用，我们证明对于$R$上的Segre扩张$S_{mn}(R)$，有$S$-$dim(S_{mn}(R)) \leq dim(S_{mn}(R)) - \Big[\frac{m+n-1}{min\{m,n\}}\Big] = d+m+n-1 - \Big[\frac{m+n-1}{min\{m,n\}}\Big]$。