关于群的Gorenstein同调维数

设 $G$ 为一群，$R$ 为一环。我们定义 $G$ 在 $R$ 上的 Gorenstein 同调维数，记为 ${\rm Ghd}_{R}G$，即平凡 $RG$-模 $R$ 的 Gorenstein 平坦维数。证明了对于任意交换环的平坦扩张 $R\rightarrow S$，有 ${\rm Ghd}_SG \leq {\rm Ghd}_RG$；特别地，若 $R$ 是 $\mathbb{Z}$-无挠的，则 ${\rm Ghd}_{R}G$ 是 ${\rm Ghd}_{\mathbb{Z}}G$ 的精细化。我们给出了 Serre 定理的一个 Gorenstein 同调版本，即对于 $G$ 的任意有限指数子群 $H$，有 ${\rm Ghd}_{R}G = {\rm Ghd}_{R}H$。作为一个应用，$G$ 为有限群当且仅当 ${\rm Ghd}_{R}G = 0$；这与任何非平凡有限群的同调维数为无穷的事实不同。