Gorenstein同调维数与群的若干不变量

对任意群 $G$，Gorenstein同调维数 ${\rm Ghd}_RG$ 定义为系数环 $R$ 的 Gorenstein 平坦维数，其中 $R$ 被视为具有平凡群作用的 $RG$-模。我们证明：当 $R$ 是有限 Gorenstein 弱整体维数的交换环时，${\rm Ghd}_RG < \infty$ 当且仅当任意 $RG$-模的 Gorenstein 平坦维数有限，当且仅当存在 $R$-纯 $RG$-单射 $R\rightarrow A$，其中 $A$ 为 $R$-平坦且 ${\rm Ghd}_RG = {\rm fd}_{RG}A$。作为应用，我们研究了 ${\rm Ghd}$ 在子群、商群、群扩张以及 Weyl 群上的性质。此外，我们比较了诸如 ${\rm sfli}RG$、${\rm silf}RG$、${\rm spli}RG$、${\rm silp}RG$ 等不变量与 $RG$-模的 Gorenstein 投射、Gorenstein 平坦及 PGF 维数之间的关系；并给出了群环上 Gorenstein 投射-平坦问题的一个充分条件。