对称双线性形式子空间的秩相关维数界

设 $V$ 是域 $K$ 上维数为 $n$ 的向量空间，$\text{Symm}(V)$ 表示在 $V \times V$ 上定义的对称双线性形式的空间。设 $M$ 是 $\text{Symm}(V)$ 的一个子空间。我们研究了关于 $M$ 中元素秩的各种假设，这些假设导出了 $\dim M$ 的合理界。例如，如果 $M$ 的每个非零元素都具有奇数秩，且 $r$ 是 $M$ 中元素的最大秩，则 $\dim M$ 至多为 $r(r+1)/2$（因此 $\dim M$ 与 $n$ 无关）。这应与简单观察对比：$\text{Symm}(V)$ 包含一个维数为 $n-1$ 的子空间，其中每个非零元素的秩为 $2$。界 $r(r+1)/2$ 几乎肯定过大，而 $r$ 的界是合理的，这在 $K$ 为有限域时成立。我们还证明了当 $K$ 为任意特征为 $2$ 的域时，$\dim M$ 至多为 $r$。最后，假设 $n=2r$，其中 $r$ 为奇整数，且 $M$ 中每个非零元素的秩为 $r$ 或 $n$。我们证明若 $K$ 的特征为 $2$，则 $\dim M$ 至多为 $3r$。此外，若 $\dim M=3r$，我们得到了与展开、伪弧和伪椭圆相关的 $M$ 和 $V$ 的有趣子空间分解。当 $K$ 具有 $r$ 次扩张域时，此类子空间 $M$ 存在。