论 Moshe Roitman 的一个问题与稳定自由模的 Euler 类

设 $A$ 为含无限域 $k$ 的 $d$ 维环，$T_1,\ldots,T_r$ 为 $A$ 上的变量，$P$ 为秩 $n$ 的射影 $A[T_1,\ldots,T_r]$-模。假设下列条件之一成立。(1) $2n\geq d+3$ 且 $P$ 从 $A$ 扩张而来。(2) $2n\geq d+2$，$A$ 为仿射 $\overline {\mathbb F}_p$-代数且 $P$ 从 $A$ 扩张而来。(3) $2n\geq d+3$ 且 $Spec(A)$ 的奇异轨迹为闭集 $V(\mathcal J)$，其中 ht $\mathcal J\geq d-n+2$。假设对某个首一多项式 $f(T_r)\in A[T_1,\ldots,T_r]$ 有 $Um(P_f)\neq \varnothing$。则 $Um(P)\neq \varnothing$。