稳定自由模的自由余项

设 $R$ 为一个交换环。我们可以询问，给定的一般 $R$-模 $P$ 满足 $P \oplus R \cong R^n$ 时，是否具有给定秩的自由余项。M. Raynaud 将此问题转化为关于 certain maps between Stiefel varieties 的 sections 的问题：若 $V_r(\mathbb{A}^n)$ 表示域 $k$ 上的 Stiefel variety $\textrm{GL}(n) / \textrm{GL}(n-r)$，则投影 $V_r(\mathbb{A}^n) \to V_1(\mathbb{A}^n)$ 有 section 当且仅当以下情况成立：任意满足 $P \oplus R \cong R^n$ 的 $k$-代数 $R$ 的模 $P$ 具有秩为 $r-1$ 的自由余项。利用 $\mathbb{A}^1$-homotopy theory 的技术，我们在 $r=3,4$ 的情况下（并对 base field 作某些假设） characterize 那些 $n$，使得映射 $V_r(\mathbb{A}^n) \to V_1(\mathbb{A}^n)$ 有 section。我们得出结论：若 $P \oplus R \cong R^{24m}$ 且 $R$ 包含特征为 $0$ 的域，则 $P$ 包含秩为 $2$ 的自由余项。如果 $R$ 包含特征为 $0$ 的二次闭域，或实数域，则 $P$ 包含秩为 $3$ 的自由余项。对于 scheme 和它们上的 vector bundle，类似结果也成立。