关于Nori一个问题:障碍、改进与应用

本文关注M. V. Nori提出的一个关于光滑仿射整环$R$上多项式代数所定义的投射模的截面同伦问题。虽然该问题有肯定答案,但已知当(1)$\dim(R)=2$;或(2)$d\geq 3$但$R$非光滑时,该断言不成立。我们首先证明当$R$为$\bar{\mathbb{F}}_p$-代数时,对$\dim(R)=2$可给出肯定答案。其次,对$d\geq 3$,我们找到了奇异情形下失败的确切障碍。进一步,我们改进了Mandal的(与Nori问题相关的)结果,其中环$A$是维数为$d$的仿射$\bar{\mathbb{F}}_p$-代数。我们应用此改进定义了第$n$个Euler类群$E^n(A)$,其中$2n\ge d+2$。此外,若$A$光滑,我们将长度$n+1$的单模行$v$对应于其Euler类$e(v)\in E^n(A)$,并证明相应的稳定自由模(记为$P(v)$)具有单模元当且仅当$e(v)$在$E^n(A)$中消失。