Thompson 群 T 的 C*-代数的理想结构

在近期的一篇论文中，Uffe Haagerup 和 Kristian Knudsen Olesen 表明，对于 Richard Thompson 群 $T$，如果存在一个有限集 $H$ 可分解为不相交集合 $H_1$ 和 $H_2$ 的并集，满足 $\sum_{g\in H_1}\pi(g)=\sum_{h\in H_2}\pi(h)$，且由 $\sum_{g\in H_1}\lambda(g)-\sum_{h\in H_2}\lambda(h)$ 生成的闭理想与 $C^*_\lambda(T)$ 重合，则 Richard Thompson 群 $F$ 不是可均的。特别地，如果 $C_{\lambda}^*(T)$ 是单的，则 $F$ 不是可均的。在此我们证明其逆命题，即如果 $F$ 不是可均的，则我们可以找到具有上述性质的两个集合 $H_1$ 和 $H_2$。目前证明群 C*-代数单性的唯一可用工具是 Power 条件。我们表明该条件对 $C_{\lambda}^*(T)$ 不成立，并提出该条件的一个明显弱化形式，该形式可能用于各种新群 $H$ 以证明 $C_{\lambda}^*(H)$ 的单性。虽然我们在第一个结果的证明中使用了我们的弱化条件，但我们也表明该新条件仍然过于严格，无法用于证明 $C_{\lambda}^*(T)$ 的单性。在此过程中，我们给出了 Ping-Pong 引理的一个新应用，用于在由具有有理旋转数的元素生成的圆同胚群中寻找作为子群的自由群。