离散群的拟正则表示及相关 C*-代数

设 $G$ 为可数群。我们在子群集合 ${\rm Sub}(G)$ 上引入若干由拟正则表示 $\lambda_{G/H}$（对应 $H\in {\rm Sub}(G)$）的性质所定义的等价关系，并将其与子群的 $G$-共轭关系进行比较。我们定义一类子群 ${\rm Sub}_{\rm sg}(G)$（即具有某种谱隙性质的子群），并证明它们是刚性的，即对任意上述等价关系，$H\in {\rm Sub}_{\rm sg}(G)$ 的等价类与 $H$ 的 $G$-共轭类一致。接着，我们引入第二类子群 ${\rm Sub}_{\rm w-par}(G)$（即在某种意义下弱抛物型的子群），并就由 $\lambda_{G/H}$ 生成的 $C^*$-代数 $C^*_{\lambda_{G/H}}(G)$ 的理想结构，对属于 ${\rm Sub}_{\rm w-par}(G)$ 或 ${\rm Sub}_{\rm sg}(G)$ 的子群 $H$ 建立了相关结果。更一般地，我们的结果对诱导表示 ${\rm Ind}_H^G \sigma$ 也成立，其中 $\sigma$ 是 $H\in {\rm Sub}(G)$ 的一个表示。