群表示的 Cuntz-Pimsner 代数

给定一个局部紧群 $G$ 和 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的酉表示 $\rho:G\to U(\mathcal{H})$，我们构造了一个 $C^*$-对应 $\mathcal{E}(\rho)=\mathcal{H}\otimes_{\mathbb C} C^*(G)$ over $C^*(G)$，并研究了 Cuntz-Pimsner 代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{E}(\rho)}$。我们证明，对于紧群 $G$，$\mathcal{O}_{\mathcal{E}(\rho)}$ 强 Morita 等价于一个图 $C^*$-代数。如果 $\lambda$ 是一个无限、离散且顺从群 $G$ 的左正则表示，我们证明 $\mathcal{O}_{\mathcal{E}(\lambda)}$ 是单的且纯无穷的，并具有与 $C^*(G)$ 相同的 $K$-理论。如果 $G$ 是紧阿贝尔群，任何表示都分解为特征标并确定一个斜积图。我们通过几个例子进行了说明，并将 $\mathcal{E}(\rho)$ 与交叉积 $C^*$-对应进行了比较。