由克隆系统构造的类汤普森群的冯·诺依曼代数

我们证明了关于由所谓 $d$ 元克隆系统产生的类汤普森群所对应的群冯·诺依曼代数的一系列结果。克隆系统是由 Witzel 与本文第二作者提出的一个框架，其后 Skipper 与第二作者又发展了 $d$ 元版本，可用于构造经典汤普森群 $F$、$T$ 和 $V$ 的推广。给定一族带有 $d$ 元克隆系统的群 $(G_n)_{n\in\mathbb{N}}$，我们得到一个类汤普森群 $\mathscr{T}_d(G_*)$，本文中我们找到了一些温和而自然的条件，使得群冯·诺依曼代数 $\mathcal{L}(\mathscr{T}_d(G_*))$ 具有良好性质。例如，若 $d$ 元克隆系统“完全相容”且“多样”，则我们证明 $\mathcal{L}(\mathscr{T}_d(G_*))$ 是一个 $\textrm{II}_1$ 型因子。若进一步该 $d$ 元克隆系统“一致”且“略纯”，则我们证明 $\mathcal{L}(\mathscr{T}_d(G_*))$ 甚至是一个 McDuff 因子，从而 $\mathscr{T}_d(G_*)$ 是内顺从的。满足这些条件的 $d$ 元克隆系统例子极易构造，并包含许多已有例子；例如我们的结果表明，对于 Brin-Dehornoy 辫状汤普森群及其纯辫状汤普森群 $bV$ 和 $bF$，有 $\mathcal{L}(bV)$ 和 $\mathcal{L}(bF)$ 是 $\textrm{II}_1$ 型因子，且 $\mathcal{L}(bF)$ 是 McDuff 因子。特别地，我们得到了 $bF$ 是内顺从的这一令人惊讶的结果。