树的殆自同构、克隆系统与有限性性质

我们证明无限根正则 $d$ 进树 $\mathcal{T}_d$ 的殆自同构群自然产生于所谓的 $d$ 进克隆系统的 Thompson 类群。对于 $G\le Aut(\mathcal{T}_d)$ 为自相似群的任意 R"over-Nekrashevych 群 $V_d(G)$，也存在类似现象。我们利用此框架扩展了 Belk 和 Matucci 的工作，他们证明了以 Grigorchuk 群作为 $G$ 的 R"over 群具有 $F_\infty$ 型。具体而言，我们找到了 $G$ 的子群上的一些自然条件以确保 $V_d(G)$ 具有 $F_\infty$ 型，特别地，我们对 \v{S}uni\'c 群的无限族中的所有 $G$ 证明了这一点。我们还证明了如果 $G$ 本身具有 $F_\infty$ 型，则 $V_d(G)$ 亦然；并且每个有限生成的 virtually free 群都是自相似的，因此特别地，每个有限生成的 virtually free 群 $G$ 都产生一个 $F_\infty$ 型的 R"over-Nekrashevych 群 $V_d(G)$。