克隆系统构造的Thompson类群的冯·诺依曼代数 II

设$(G_n)_{n \in \mathbb{N}}$为配备$d$元克隆系统的一组群序列,记所得的Thompson类群为$\mathscr{T}_d(G_*)$。在先前与Zaremsky合作的工作中,我们获得了关于$\mathscr{T}_d(G_*)$的群冯·诺依曼代数(记为$L(\mathscr{T}_d(G_*))$)的结构性结果。在对$d$元克隆系统的一些自然假设下,我们证明了$L(\mathscr{T}_d(G_*))$是一个$\text{II}_1$型因子。加上若干额外的自然假设,我们证明了$L(\mathscr{T}_d(G_*))$ moreover是一个McDuff因子。本文中,我们进一步分析$L(\mathscr{T}_d(G_*))$的结构,特别是包含关系$L(F_d) \subseteq L(\mathscr{T}_d(G_*))$,其中$F_d$是最小的Higman--Thompson群。我们证明,若$d$元克隆系统是“多样的”,则$L(F_d) \subseteq L(\mathscr{T}_d(G_*))$满足弱渐近同态性质。作为推论,该包含关系是不可约的,这相对于我们此前关于$L(\mathscr{T}_d(G_*))$是$\text{II}_1$型因子且包含关系为奇异的结果是一个显著改进;该包含关系同时也是奇异的。随后我们考察在弱渐近同态性质、奇异性与不可约性方面非多样的$d$元克隆系统的例子。最后我们给出若干应用。我们构造了一台机器,输入任意群与有限群,可产出一类(有限与无限指标皆可)无弱渐近同态性质但奇异的$\text{II}_1$型因子包含关系。最终,利用包含关系$L(F_d) \subseteq L(\mathscr{T}_d(G_*))$的不可约性、我们关于$L(\mathscr{T}_d(G_*))$为McDuff因子的条件,以及Higman-Thompson群$F_d$具有特征刚性(在Peterson意义下)这一事实,我们证明了群$F_d$是McDuff的(在Deprez-Vaes意义下)。