广义 Thompson 群 $T_{n,r}$ 的自同构

Bleak、Cameron、Maissel、Navas 和 Olukoya (BCMNO) 的近期论文《Richard Thompson 和 Graham Higman 的进一步变色龙群：Higman 群 $G_{n,r}$ 通过动力学的自同构》将 Higman-Thompson 群 $G_{n,r}$ 的自同构表征为 Grigorchuk、Nekrashevych 和 Suchanski{\u i} 的有理群 $\mathcal{R}_{n,r}$ 中具有双同步这一附加性质的特定子群。在本文中，我们扩展了 BCMNO 的论证，并将 $T_{n,r}$ 的自同构群表征为 $\mathrm{Aut}{G_{n,r}}$ 的子群。然后我们证明群 $\mathrm{Out}{T_{n,r}}$ 可以与群 $\mathrm{Out}{T_{n,n-1}}$ 的子群等同。扩展 Brin 和 Guzman 的结果，我们证明对于 $n>2$，群 $\mathrm{Out}{T_{n,r}}$ 都是无限的，并且包含 Thompson 群 $F$ 的同构副本。对于 $X \in \{T,G\}$，我们研究群 $\mathrm{Out}{X_{n,r}}$ 并证明它们符合一个格结构，其中对于所有 $1 \le r \le n-1$，$\mathrm{Out}{X_{n,1}} \unlhd \mathrm{Out}{X_{n,r}}$，且 $\mathrm{Out}{X_{n,r}} \unlhd \mathrm{Out}{X_{n,n-1}}$。这给出了对 BCMNO 中关于 $\mathrm{Out}{G_{n,n-1}}$ 正规子群结构问题的部分回答。此外，我们推导出对于 $1\le j,d \le n-1$ 使得 $d = \gcd(j, n-1)$，$\mathrm{Out}{X_{n,j}} = \mathrm{Out}{X_{n,d}}$，将 BCMNO 关于群 $G_{n,r}$ 的结果扩展到了群 $T_{n,r}$。我们对 BCMNO 中关于 $\mathrm{Out}{G_{n,r}} \cong \mathrm{Out}{G_{n,s}}$ 当且仅当 $\gcd(n-1,r) = \gcd(n-1,s)$ 的问题给出了否定回答。最后，我们证明群 $T_{n,r}$ 具有 $R_{\infty}$ 性质，从而扩展了 Burillo、Matucci 和 Ventura 以及独立地由 Gon{\c c}alves 和 Sankaran 对 Thompson 群 $T$ 所得的结果。