移位空间的自同构与Higman-Thompson群：双侧情形

在本文中，我们进一步探究满移位空间的自同构群与Higman–Thompson群 $\{G_{n,r}\}$ 的外自同构群之间联系的实质。我们证明（双侧）移位动力系统 $\mathrm{Aut}(X_n^{\mathbb{N}}, \sigma_{n})$ 的自同构群模其中心可嵌入为外自同构群 $\mathop{\mathrm{Out}}(G_{n,n-1})$ 的一个特定子群 $\mathcal{L}_{n}$。由Ryan的一个结果可得如下中心扩张：$$\langle \sigma_{n}\rangle \hookrightarrow \mathrm{Aut}(X_n^{\mathbb{N}}, \sigma_{n}) \twoheadrightarrow \mathcal{L}_{n}$$ 其中此处 $\langle \sigma_{n} \rangle \cong \mathbb{Z}$。我们证明该短正合列分裂当且仅当 $n$ 不是真幂，且在所有情形下，我们计算了该扩张的2-闭上链与2-边缘。我们还利用此中心扩张证明对 $1 \le r < n$，群 $\mathop{\mathrm{Out}}(G_{n,r})$ 无中心且具有不可判定的阶问题。注意群 $\mathop{\mathrm{Out}}(G_{n,n-1})$ 由有限转置器（自动机理论中出现的组合对象）组成，且群 $\mathcal{L}_{n}$ 的元素可由 $\mathop{\mathrm{Out}}(G_{n,n-1})$ 内一简单组合性质轻易刻画。特别地，该短正合列使我们能确定 $\mathrm{Aut}(X_n^{\mathbb{N}}, \sigma_{n})$ 元素的一种新的高效纯组合表示，并演示如何使用此新表示计算乘积。