有限型 Ryan 定理与 $\mathbb{Z}^{d}$ 子移位的局部 $\mathcal{Q}$ 熵

设群 $G$ 通过同胚作用于空间 $X$，则自同构群 $\mathrm{Aut}(X,G)$ 由所有与映射 $x \mapsto g \cdot x$ 对每个 $g \in G$ 可交换的 $X$ 的自同胚组成。Ryan 的一个定理表明，对于有限型不可约 $\mathbb{Z}$-移位 $(X,\sigma_{X})$，自同构群 $\mathrm{Aut}(X,\sigma_{X})$ 的中心由移位 $\sigma_{X}$ 生成。该定理的有限型版本由第二作者对某些完全移位证明，后由 Kopra 推广至有限型不可约 $\mathbb{Z}$-移位。我们将上述有限型 Ryan 定理推广到更一般群上的有限型移位。我们证明：对于具有不动点的可收缩 $\mathbb{Z}^{d}$ 有限型移位，自同构群中存在一个有限生成子群，该子群在同胚群中的中心化子即为移位子群。我们还证明了对于任意无限有限生成群在充分良好的字母表规模上的完全移位，此类结果同样成立。稳定化自同构群 $\mathrm{Aut}^{(\infty)}(X,G)$ 定义为 $G$ 的所有有限指数子群 $H$ 上的自同构群 $\mathrm{Aut}(X,H)$ 的并集。为研究有限型移位的稳定化自同构群，我们引入了一种针对带基点群的类熵量，称为局部 $\mathcal{Q}$ 熵，这是第一作者此前引入的局部 $\mathcal{P}$ 熵概念的推广。利用有限型 Ryan 定理，我们证明：可收缩 $\mathbb{Z}^{d}$ 有限型移位的稳定化自同构群的局部 $\mathcal{Q}$ 熵可在有理数倍的意义下恢复底层的移位系统的拓扑熵。随后我们利用这一结果，给出了 $\mathbb{Z}^{d}$ 上完全移位的稳定化自同构群在同构意义下的完全分类。