Hall 泛群的自同构群

我们研究了 Hall 的泛局部有限群 $H$ 的自同构群。我们证明了在 $Aut(H)$ 中，每个指数 $< 2^\omega$ 的子群都位于 $H$ 的唯一有限子群 $A$ 的逐点稳定子与集合稳定子之间，并以此证明了 $Aut(H)$ 是完备的。我们进一步证明了 $Inn(H)$ 是 $Aut(H)$ 的最大局部有限正规子群。最后，我们观察到，根据 [Sh:312] 的工作可知，对于每个可数局部有限群 $G$，都存在 $G \cong G' \leq H$，使得每个 $f \in Aut(G')$ 都可扩展为 $\hat{f} \in Aut(H)$，且 $f \mapsto \hat{f}$ 将 $Aut(G')$ 嵌入 $Aut(H)$。特别地，我们解决了 Hickin 在 [3] 中关于 $Aut(H)$ 的三个悬而未决的问题，并对 Kegel 和 Wehrfritz 在 [6] 中的问题 VI.5 给出了部分解答。