有理数序自同构的通用序列

J. Hyde; J. Jonusas; J. D. Mitchell; Y. H. Peresse

doi:10.1112/jlms/jdw015

有理数序自同构的通用序列

群论 2017-05-17 v4

作者: J. Hyde , J. Jonusas , J. D. Mitchell , Y. H. Peresse

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摘要

在本文中，我们考虑有理数的序自同构群 Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ ，证明了一个类似于 Galvin 关于对称群定理的结果。Kh\'elif 在一则公告中指出，Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ 的每个可数子集都包含在 Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ 的某个 $N$ 生成子群中，其中 $N\in\mathbb{N}$ 为固定值。我们证明了最小的此类 $N$ 为 $2$ 。此外，对于 Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ 的每个可数子集，我们证明了每个元素都可以表示为两个生成元的指定乘积，而无需使用它们的逆元。更确切地说，假设 $a$ 和 $b$ 自由生成由 $a$ 和 $b$ 上的非空字组成的自由半群 $\{a,b\}^+$ 。那么我们证明存在一个 $\{a,b\}$ 上的字序列 $w_1, w_2,\ldots$ ，使得对于每个序列 $f_1, f_2, \ldots\in\,$ Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ ，都存在一个同态 $\phi:\{a,b\}^{+}\to$ Aut $(\mathbb{Q},\leq)$ ，满足对每个 $i$ 都有 $(w_i)\phi=f_i$ 。作为本文主要定理的推论，我们得到了 Droste 和 Holland 的一个结果，表明 Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ 的强共尾性是不可数的，或者等价地，Aut $(\mathbb{Q}, \leq)$ 具有不可数共尾性和 Bergman 性质。

关键词

序自同构有理数通用序列自由半群可数子集强共尾性 Bergman 性质

引用

@article{arxiv.1401.7823,
  title  = {Universal sequences for the order-automorphisms of the rationals},
  author = {J. Hyde and J. Jonusas and J. D. Mitchell and Y. H. Peresse},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1401.7823},
  year   = {2017}
}

备注

Updated to clarify some parts of the proof

有理数序自同构的通用序列

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关键词

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