关于 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$、$\widehat{GT}$ 和 $\mathrm{Aut}(\hat{F}_2)$ 的表示

根据 Belyi 的工作，有理数域 $\mathbb{Q}$ 的绝对伽罗瓦群 $G_{\mathbb{Q}}=\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 可以嵌入到 $A=\mathrm{Aut}(\widehat{F_2})$ 中，后者是两个生成元上的自由投射有限群 $\widehat{F_2}$ 的自同构群。$G_{\mathbb{Q}}$ 的像位于 Grothendieck-Teichmüller 群 $\widehat{GT}$ 内部。虽然已知 $G_{\mathbb{Q}}$ 的每个阿贝尔表示都可以扩展到 $\widehat{GT}$，但 Lochak 和 Schneps 提出了构造 $\widehat{GT}$ 的不可约非阿贝尔表示的挑战。我们实际上做到了这一点，即通过证明一类丰富的算术定义的 $G_{\mathbb{Q}}$ 表示可以扩展到 $\widehat{GT}$ 的有限指数子群。事实上，这是通过将这些表示一路扩展到 $A=\mathrm{Aut}(\widehat{F_2})$ 的有限指数子群来实现的。我们通过发展 Grunewald 和 Lubotzky 工作的投射版本做到了这一点，该工作为离散群 $\mathrm{Aut}(F_d)$ 提供了丰富的表示集合。