PCF多项式树表示的上群

考虑数域 $K$ 及 $K$ 上次数大于 1 的有理函数 $f$。通过对 $\alpha\in K$ 依次取 $f$ 迭代下的原像，可以构造一个以 $\alpha$ 为根的无穷 $d$-叉树 $T_\infty$。若 $f(x)=y$，则在两个原像 $x$ 和 $y$ 之间连一条边。$K$ 的绝对 Galois 群通过树自同构作用于 $T_\infty$，在 $T_\infty$ 的所有自同构群 $\text{Aut}(T_\infty)$ 中生成子群 $\text{Gal}_f^\infty(\alpha)$。我们发现了一类新的自然上群，与 PCF 多项式相伴的 Galois 表示的像必定落入其中。此外，我们发现某个新 PCF 多项式的 Galois 表示的像同构于这些上群之一。我们还研究了特定映射（如归一化动力学 Belyi 多项式）下这些上群的结构，并证明这些上群的正规子群构成唯一的合成群列。这使我们能够通过群论分析来界定生成元的数量。