特征二下的一类新的例外多项式

我们构造了一类定义在特征为 2 的域 $K$ 上的新多项式 $f(x)$，它们是例外的，即 $f(x)-f(y)$ 在 $K[x,y]$ 中除了 $x-y$ 的标量倍数外没有其他的绝对不可约因子；当 $K$ 为有限域时，该条件等价于存在无穷多个有限扩域 $L/K$，使得映射 $c \mapsto f(c)$ 在 $L$ 上是双射。我们的多项式次数为 $(2^e-1)2^{e-1}$，其中 $e$ 为奇数。结合我们之前的论文 arxiv:0707.1835，这完成了对次数不为特征幂的不可分解例外多项式的分类。我们证明的策略是识别那些可以作为由例外多项式 $f$ 诱导的分支覆盖 $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ 的伽罗瓦闭包的曲线。在这种情况下，这些曲线被证明是 $x^{q+1}+y^{q+1}=a+T(xy)$，其中 $T(z)=z^{q/2}+z^{q/4}+\dots+z$。我们的证明依赖于曲线伽罗瓦覆盖中分歧的新性质，以及某双参数族中所有曲线的自同构群的计算。