三次多项式迭代伽罗瓦群的有限指数定理

设 $K$ 为数域或函数域。设 $f\in K(x)$ 为次数 $d\geq 2$ 的有理函数，并设 $\beta\in\mathbb{P}^1(K)$。对所有 $n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$，伽罗瓦群 $G_n(\beta)=\text{Gal}(K(f^{-n}(\beta))/K)$ 嵌入到 $\text{Aut}(T_n)$，即第 $n$ 层 $d$ 叉根树的同构群中。算术动力系统中的一个主要问题是树状有限指数问题：确定何时 $[\text{Aut}(T_\infty):G_\infty]<\infty$。当 $f$ 为三次多项式且 $K$ 为 $\mathbb{Q}$ 的代数扩张上超越次数为 $1$ 的函数域时，我们通过证明一组有限指数的充要条件解决了该问题。这是首个给出有限指数充要条件的结果，可视为 Serre 开像定理的动力系统类比。当 $K$ 为数域时，我们的证明以 $K$ 上的 $abc$ 猜想和 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 爆发的 Vojta 猜想为条件。我们还利用该方法解决了修正树有限指数问题的一些自然变体。