二次有理函数周期临界点的伽罗瓦理论

Özlem Ejder

二次有理函数周期临界点的伽罗瓦理论

数论 2025-04-21 v3 群论

作者: Özlem Ejder

摘要

给定数域 $k$ , 以及 $f(x) \in k(x)$ 的二次有理函数, 其相关的 arboreal 表示是绝对 Galois 群的子群, 位于正根二叉树自同构群中. Boston 和 Jones 猜想, 对于 $f \in \mathbb{Z}[x]$ 的此类表示的像包含一个稠密的已定元素集合. 自守作用是若其在树的第 $n$ 层上的轨道数目随着 $n$ 趋于 infinity 而保持较小. 在本文中, 我们展示了许多二次有理函数其相关的 Arboreal Galois 群不是稠密已定的. 这些例子来源于临界点位于单个周期轨道中的二次有理函数. 为证明我们的结果, 我们对 $f$ 的迭代单枢轴群 (IMG) 进行详细研究, 这也允许我们对 Jones 和 Levy 的关于已定配对的问题提供负答案. 此外, 我们研究由 $k(f^{-\infty}(t))$ 生成的迭代扩张, 即将 $k(t)$ 中所有根 $f^n(x) = t$ 对于 $n \geq 1$ adjoin. 我们称 $k(f^{-\infty}(t))$ 与 $\bar{k}$ 的交, 即与 $f$ 相关的常数域. 当 $f$ 的两个临界点之一是另一个的像时, 我们证明常数域包含由所有 $2$ 次根单位生成的 cyclotomic extension of $k$ . 特别是, 我们证明了 Ejder, Kara, 和 Ozman 关于有理函数 $\frac{1}{(x-1)^2}$ 的猜想.

关键词

伽罗瓦理论二次有理函数周期临界点 arboreal 表示迭代单枢轴群

引用

@article{arxiv.2401.14862,
  title  = {Galois theory of quadratic rational functions with periodic critical points},
  author = {Özlem Ejder},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2401.14862},
  year   = {2025}
}

二次有理函数周期临界点的伽罗瓦理论

摘要

关键词

引用

相关论文