有理函数的迭代单值群与有限域上的周期点

设 $q$ 为素数幂，$\phi$ 为系数在有限域 $\mathbb{F}_q$ 中的有理函数。对 $n \geq 1$，$\mathbb{P}^1(\F_{q^n})$ 中的每个元素在 $\phi$ 的迭代下要么是周期的，要么是严格预周期的。记 $a_n$ 为周期元素的比例。除 $\phi$ 为幂映射或切比雪夫多项式的情形外，关于 $a_n$ 随 $n$ 增长的演变所知甚少。我们对更广泛的有理函数类给出了关于此问题的首批结果：当 $q$ 为奇数且 $\phi$ 为二次且既非 Lattès 也非共轭于某单参数例外映射族时，$a_n$ 的下极限为 $0$。我们还证明了当 $\phi$ 为具有严格预周期有限临界点的非切比雪夫二次多项式且 $q$ 为奇平方数时，$a_n$ 的极限为 $0$。我们的方法给出了关于数域上定义的后临界有限（PCF）有理函数约化的周期点的额外结果。理解一般情形下 $a_n$ 的困难在于 $\mathbb{P}^1(\F_{q^n})$ 是一个无环境几何的有限集。事实上，$\phi$ 可提升为黎曼球面上的 PCF 有理映射，我们在此表明 $a_n$ 由计数迭代单值群（IMG）中在预像树各层均以不动点作用的元素给出。利用鞅收敛定理，我们将该问题转化为判定某些 IMG 元素是否存在。这转而可使用 PCF 有理映射在轨道度量下的展开 decisively 地解决。