有理函数轨道中的幂：算术动力Mordell-Lang猜想的若干情形

设$K$为特征零的有限生成域。我们研究固定的$m \geq 2$，定义在$K$上的有理函数$\phi$，其$K$-轨道包含无穷多个不同的$m$次幂。对于$m \geq 5$，我们证明唯一此类函数是形如$cx^j(\psi(x))^m$的函数，其中$\psi \in K(x)$；对于$m \leq 4$，我们证明仅有的额外情形是某些Latt\`es映射和四个有理函数族，其特殊性质似乎此前未被研究。通过进一步分析，我们证明指标集$\{n \geq 0 : \phi^{n}(a) \in \lambda(\mathbb{P}^1(K))\}$是有限个等差数列的并，其中$\phi^{n}$表示$\phi$的第$n$次迭代，$\lambda \in K(x)$是任意在$K$上Möbius共轭于$x^m$的映射。当指标集无限时，我们给出所涉及等差数列的数目和模的界。这些结果在性质上类似于动力Mordell-Lang猜想，并激发了一个关于轨道与态射值集交集的新猜想。我们证明中的一个关键成分是研究曲线$y^m = \phi^{n}(x)$。我们描述了所有使这些曲线具有亏格至多1的不可约分支的$\phi$，并表明这样的$\phi$必须有两个不同迭代在$K(x)^*/K(x)^{*m}$中相等。