关于幂级数矩阵的有限决定性

设 $R=K[[x_1,...,x_s]]$ 为任意特征域 $K$ 上以 $\mathfrak{m}$ 为极大理想的的形式幂级数环。在元素属于 $R$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$ 构成的环 $M_{m,n}$ 上，我们考虑由群 $G$ 在 $M_{m,n}$ 上的作用所给出的若干等价关系。$G$ 可以是 $R$ 的自同构群，分别结合从左侧、右侧或双侧乘以可逆矩阵。若 $A$ 与任何满足 ${A-B} \in {\mathfrak{m}^k M_{m,n}}$（对于某个有限整数 $k$）的矩阵 $B$ 均� $G$-等价，则我们称 $A$ 是有限 $G$-决定的，这特别意味着 $A$ $G$-等价于一个多项式元素矩阵。关于解析或微分映射芽 $f:(K^s,0) \to (K^m,0)$（$K = \mathbb{R}, \mathbb{C}$）的经典判据表明，$f \in M_{m,1}$ 是有限决定的（相对于各种群作用）当且仅当 $f$ 轨道的切空间在 $M_{m,1}$ 中具有有限余维数。若 $K$ 的特征为 0，或更一般地，若轨道映射是可分的，我们将此判据推广至 $M_{m,n}$ 中的任意矩阵。然而，在正特征下，该问题更为微妙，因为如我们通过一个例子所示，轨道映射通常不是可分的。这一事实在先前的论文中被忽略了。我们的主要结果是给出任意特征下 $M_{m,n}$ 中有限 $G$-决定性的一个一般充分判据，其以本文引入的轨道映射的切像表述。该判据为 $M_{m,n}$ 中矩阵 $A$ 的 $G$-决定性提供了一个可计算的界，这在特征 0 下亦是新结果。