二次 PCF 多项式的树状伽罗瓦群中的稳定元素

设 $f(x) \in K(x)$ 为一个二次多项式，其中 $K$ 是特征不为 $2$ 的域。$K$ 的绝对伽罗瓦群相关的树状伽罗瓦表示作用在一棵正则二叉树上。Boston 与 Jones 猜想，对于 $f \in \mathbb{Z}[x]$，该表示的像包含一个稠密的稳定元素集合。粗略地说，树的一个自同构 $\tau$ 的循环若称为稳定的，是指其长度在每一后续层级严格递增；而 $\tau$ 称为稳定的（settled），是指当层级趋于无穷时，包含在稳定循环中的顶点比例趋于 $1$。本文证明，$K[x]$ 中具有周期后临界轨道的二次后临界有限多项式的算术迭代单值群是稠密稳定的。在数域情形下，根据 Benedetto--Ghioca--Juul--Tucker \cite{BGJT2025s} 的结果，可知对无穷多个 $a \in K$，相关的树状伽罗瓦表示是稠密稳定的。特别地，我们的结果适用于 Basilica 映射 $f(x)=x^2-1$ 的算术迭代单值群。