单临界多项式迭代伽罗瓦群的有限指数定理

设 $K$ 为定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的光滑不可约曲线的函数域。令 $f\in K[x]$ 形如 $f(x)=x^q+c$，其中 $q = p^{r}, r \ge 1,$ 为素数 $p$ 的幂，并令 $\beta\in \overline{K}$。对所有 $n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$，伽罗瓦群 $G_n(\beta)=\mathop{\rm{Gal}}(K(f^{-n}(\beta))/K(\beta))$ 可嵌入 $[C_q]^n$（循环群 $C_q$ 的 $n$ 重圈积）中。我们证明若 $f$ 非同平凡常数（isotrivial），则 $[[C_q]^\infty:G_\infty(\beta)]<\infty$，除非 $\beta$ 为后临界或周期点。我们还能够证明，若 $f_1(x)=x^q+c_1$ 与 $f_2(x)=x^q+c_2$ 是两个这样的不同多项式，则域 $\bigcup_{n=1}^\infty K(f_1^{-n}(\beta))$ 与 $\bigcup_{n=1}^\infty K(f_2^{-n}(\beta))$ 在 $K$ 的有限扩张上互不相交。