关于 Galois 模与射影曲线的代数基本群的一个注记

设 $X$ 是定义于特征 $p>0$ 的代数闭域 $k$ 上的亏格 $g\ge 2$ 的光滑射影连通曲线。设 $G$ 为有限群，$P$ 为 $G$ 的 Sylow $p$-子群，$N_G(P)$ 为其在 $G$ 中的正规化子。我们证明：若存在以 $N_G(P)$ 为群的 étale Galois 覆盖 $Y\to X$，则 $G$ 是 étale Galois 覆盖 $\mathcal{Y}\to\mathcal{X}$ 的 Galois 群，其中 $\mathcal{X}$ 的亏格依赖于 $G$ 的阶、$G$ 的 Sylow $p$-子群的个数以及 $g$。假设 $G$ 是一个阶与 $p$ 互素的群 $H$ 被一个 $p$-群 $P$ 的扩张，且 $X$ 定义于有限域 $\mathbb{F}_q$ 上，其充分大以包含 $|H|$ 次单位根。我们证明：群环 $\mathbb{C}[H]$ 中的整幂等关系蕴含相应广义 Hasse-Witt 不变量之间的类似关系。