曲线的全纯微分的 Galois 结构

设 $X$ 是特征为 $p$ 的完美域 $k$ 上的光滑射影几何不可约曲线。假设 $G$ 是忠实作用于 $X$ 的有限群，且 $G$ 具有非平凡循环 Sylow $p$-子群。我们证明，$X$ 的全纯微分空间分解为不可分解 $k[G]$-模的直和，这一分解由下分支群和 $X$ 在覆盖 $X\to X/G$ 中分歧的闭点的基本特征唯一确定。我们将该方法应用于确定模曲线 $\mathcal{X}(\ell)$ 模 $p$ 约化后的全纯微分空间的 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_\ell)$-模结构，其中 $p$ 和 $\ell$ 是不同的奇素数，且 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_\ell)$ 在该约化上的作用不是非分歧的。这导出了一些模 $p$ 的适当极大理想之间的非平凡同余关系，这些同余存在于由 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{F}_\ell)$ 作用于 $\mathcal{X}(\ell)$ 所产生的等维分量对应的模形式之间。